轨道角动量

只有和同时具有确定值, 且具有相同的本征函数.

本征值:

其中, 对于确定的主量子数n, l取0, 2, …, n-1, m取-l, …, +l

因此, 轨道角动量对应两个量子数: 角量子数l, 磁量子数m

只考虑nlm三个量子数时, H原子的能级跃迁选择定则为:

对主量子数n没有限制.

自旋角动量

它也有类似的: 和的本征值和本征函数.

对于电子（费米子）, 有自旋量子数: , 可以取、.

可以看出,

角动量与磁矩

这里各自角动量还是独立开的, 没有相互耦合.

轨道角动量的磁矩

电荷在旋转磁矩

回顾磁矩的定义其中是电流, 是环路的面积, 方向是法向.

代入到”电子绕核转动”场景中, 得到磁矩

写成算符形式就是:

因此, 与的本征值差一个系数, 与的本征值差一个系数, 以为例, 有:

$好像差一个负号$

其中是磁量子数. 记为玻尔磁子 .

引入玻尔磁子后, 磁矩的本征值的表示会更简洁:

的本征值:
的本征值: .

自旋角动量的磁矩

类比, 与也有类似的对应关系, 不过差一个系数: 可以取.

类似的, 有自旋角动量磁矩的本征值:

的本征值:
的本征值: .

考虑到 , 上式简化为:

的本征值:
的本征值: .

轨道与自旋角动量的耦合

耦合对能量的修正

能量(哈密顿量算符)的变化量

总角动量

不计原子核的, 单价电子原子的 总角动量:

本征值:
本征值:

这里,

从到 (常用!)
从到且 (不常用)

耦合导致的精细结构分裂

其中是系数, 随着原子序数、n、l都会改变.

由于j的不同, 能级发生精细结构分裂. 由于, 对于给定的nl, 只有至多只有两个取值, 因此一个能级分裂成两个. (对于l=0的S能级, j只有一个值, 不会分裂.)

记号:

左侧表示:原来的一个能级分裂成两个能级, 表示发生分裂的是能级(l = 1), 表示这个能级上的 .

考虑精细结构之后, 跃迁的选择定则

角量子数 .

对于自旋角动量, 要求 (始终成立所以无所谓)

对总角动量的要求: 且j不能从0到0(不过对于电子, 不会有这种情况.)

谱线强度

对于每个总角动量j的能级,具有统计权重

离开某一个j能级的所有谱线强度之和正比于这个j能级的权重.

到达某一个j能级的所有谱线强度之和正比于这个j能级的权重.

原子核的角动量

质量数为奇数的原子核和个别质量数为偶数的原子核存在.

本征值: , I为整数,半整数
本征值: , .

角动量对应的磁矩

是核磁g因子,是一个系数.

核磁子等东西这里没记.

电子总角动量与原子核角动量的耦合

考虑精细结构时, 电子的轨道和自旋角动量已经发生耦合, 形成总角动量 . 这里, 要和进一步耦合.

定义原子的总角动量

类似l和s耦合成j时的情形:

本征值: . 其中从到
本征值:

耦合带来的超精细结构分裂

公式形式相同.j换F、l换I、s换j

同一个n、l、j的精细结构能级, 现在由于F不同, 要分裂为超精细结构.

这里的是系数,具有频率的量纲(啊?). 具有确定的n、l、j的能级分裂成多个能级, 它们和原先能级的能量(频率)差, 以及相互之间的能量(频率)差, 可以通过表征.

注意对于不同的n、l、j轨道, 的值不同.

考虑超精细结构之后的选择定则

且之前的定则(、)仍存在.

多电子原子的角动量

在多电子原子体系中, 另所有电子的总轨道量子数为, 所有电子的总自旋量子数为 , 各自的磁量子数为、.

满壳层的性质

内层满壳层,L = 0, S=0

两种非有心力, 耦合

电性非有心力: 电子对其他电子的排斥作用(电性作用)
磁性非有心力: 磁性相互作用.

两个价电子

LS耦合

含义

1snl: 一个电子是1s组态, 另一个是nl组态(某个组态)

nl值完全相同的时候需要泡利不相容原理; nl值只要有一个不相同, 就不用特地考虑.

LS耦合: 电性非有心力远大于磁性非有心力. 但是: 电性非有心力要通过角动量来描述.

电性相互作用带来大的能量分裂; 在此之上, 磁性相互作用带来小分裂(先后顺序)

大分裂: 电

大分裂由和表征. 分别是两个电子的总轨道角动量和总自旋角动量的量子数.

可以取到 (两头都取). 注意当1snl组态时, 由于其中一个l=0, 所以L只能取一个值.
可以取到 . 但由于, 所以或 .

L不同, S不同, 带来不同能级:

将能级写成这个形式. 表示L数值对应的符号, 如SPDF. 可以是1或3, 分别是”一重态”和”三重态”(到这一步, 认为三重态没有分裂)

小分裂: 磁

在此基础上考虑磁性相互作用. 如法炮制写出:

“ 、耦合出”. 是原子总角动量. 对应量子数取值: .

考虑到这种分裂之后, 原先的”三重态”会分裂为三个能级. 这也是”三重态”名字的来源.

LS耦合的选择定则:

jj耦合

磁(自旋轨道相互作用) 大于非有心电性作用

每个电子有自己的总角动量, , 导致能级的”大分裂” (和单电子时的精细结构分裂来源相同)

这之后, 两个电子的总角动量之间再耦合:

算符:
量子数: = , …,

【还没写完】