第一章 复数
概念
复数的表示方式:
note:
复数的运算
乘法, 模长相乘, 复角相加:
引申: 乘方运算:
无穷远点
区域, 连通, 边界…
复变函数
极限
设函数
注意“趋近方向”的任意性
连续
连续函数在有界闭区域上有最大值和最小值, 且一致连续.
导数
判断导数存在的方法
如果函数
则该点可微且可导.
求导方法:
- 已经写为了
形式, 即已经写为了 的 初等 函数形式, 可以像实函数一样求导 - 写为
形式, 并且确定导数存在, 可以从 轴或 轴趋近求导:
- 用定义求导(
形式的选择, 用 or ) - 用柯西积分公式求导 ( 后文 ) ( 基本不用. 一般是反过来用. )
解析函数
在区域内可导. 注意「区域」, 在点或线上可导, 不解析.
解析函数的性质:
知道
由 条件可以解 , 注意差一个实常数 +C 在
平面画出 和 , 曲线的切线点点正交.
切线方向向量:
- 拉普拉斯方程
初等函数
三角函数
⬆️要记得住QaQ
‼️双曲函数
一般而言, 利用
足够解决问题. 不过有些时候还要回归原始定义 .
解析映射的性质, 区域的放大倍数
第三章 (重要) 积分 ‼️
积分是复平面上的积分, 先回顾一下二维的曲线积分.
- 第i型曲线积分
跟路径的方向无关, 不依赖于走向.
假设曲线L由方程
决定
- 第ii型曲线积分
有方向. 若
复变函数积分
情况1
将
把一个复数积分变为两个第ii型曲线积分.
注意这里的变换方式是复数乘法. 这和ii型积分的向量点乘不同.
情况2 有C的参数曲线
目前的经验是, 如果出现
, 将 替换为 .
例1
例2
总的来讲, 复数积分比较像第ii型曲线积分, 但也比较像一维积分.
类似ii型积分, 和路径方向有关. 同时有一些类似一维积分的换元等技巧.
Cauchy定理
在环路包围的区域内解析的函数，环路积分为0
证明利用格林公式。
务必验证环路包围的区域（包括边界）没有奇点！
如果有奇点，可以类似二重积分的时候，进行“挖洞”。
例:
n=-1时，积分结果
n>-1时无奇点，显然为0；
n<-1时，虽然有奇点，但是能算出来结果为0.
例: 书上p35，3.3
讲一个定积分化为复平面的积分。
推论: 在没有奇点的区域内部，积分与路径无关 –> 原函数，不定积分的概念。
Cauchy积分公式
大圆弧，小圆弧
小圆弧
如果函数在a点的空心邻域内连续，并且在扇形区域内，半径趋于0时，
大圆弧 函数在
note：这个“一致趋于k”，实际操作中一般就是“极限为k”，毕竟极限为k要求了任意方向。
Cauchy积分公式
有界区域：
前提条件： 在有界闭区域内单值解析；C是区域的边界；a在区域内部。
无界区域：
前提条件：在C的外面直到
点单值解析； ；a在C外面。 格外注意：C的方向是对于它外侧的正向。即C方向为顺时针！！ 和有界区域的情况相反。
无界区域的退化情况
如果已有一个环路C，一个C外的点a，可以在a外面再做一个足够大的圆环，构成有界区域。利用大圆环引理和有界区域的Cauchy积分公式。
均值定理
高阶导数
如果函数在有界闭区域
证明书p41
Cauchy型积分，含参量积分的解析性
看书！！！！！
还没学呢！！！！
第四章 级数
数项级数
定义，柯西准则。
复数级数的收敛，等价于实部和虚部两个级数都收敛。
绝对收敛：模长的级数
绝对收敛需要判断的级数就是正项级数，和普通正项级数的判别法完全一致。
二重级数（似乎没怎么讲）
函数项级数
主要使用的判别法：M-判别法。和实数情况一致。模长放缩成正项级数。
性质：连续，可导，可逐项积分，可逐项求导。
逐项求导 每个函数单值解析，和函数一致收敛 –> 和函数解析，和函数的各阶导数都能用级数表示。
幂级数
收敛圆，收敛半径。
存在一个收敛半径，里面全都收敛，外面全都不收敛。
内闭一致收敛性。
收敛半径求法：
求
（就是正项级数收敛性的Cauchy判别法的那个东西。d-a判别法也是一样的）
（别忘了倒数）
第五章 解析函数的局域展开
泰勒级数
洛朗级数
解析函数的零点孤立性
解析延拓
第六章 留数定理
留数的定义和计算方法
定义
利用求导计算
利用展开式计算
P/Q形式，一阶计算
在无穷远的留数
留数的应用
积分与留数和的关系
有理三角函数的 换元 积分
无穷积分扩展到复平面
含三角函数的无穷积分，积分函数的替换
含奇点的情形
矩形围道积分
第七章
下半学期