量子力学有关的一道作业题

波函数：

其中：

note: 可以类比机械波方程：

其中：

对波函数微分：

由（动量和能量的关系），得：

这是一维运动自由粒子含时的薛定谔方程。

对于处在势能场中的粒子，，上式变为：

在三维势场中：

其中：

如果势场不随时间变化，则U与t无关，从而薛定谔方程中，与为独立变量，可以用变量分离法求解：

代入薛定谔方程：

为什么等于能量E？

上文 中，对波函数微分：

能得到

可以验证变量分离后的等式等于E。

1. 三维无限深势阱中电子的能级和波函数。

势阱：

薛定谔方程：

定态，做变量分离：

对于，易得：

对于，对于阱外，，能得到。阱内，U = 0：

由于体系的对称性，做变量分离：

同时将E分为三部分，得：

可以分离得到：

其中

利用边界条件确定参数：

所以

类似的,

所以

归一化：

所以

注意到，而同时 ，所以

所以 为该电子的能量（能级）。