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数学物理方法-下
justaLoli
  2023-11-21 15:28:16   2023-12-23 19:25:30      1.8k 字  6 分钟

数学物理方程

方程

  1. 波动方程

  2. 热传导方程

  3. 稳定问题

定解条件

分为两种: 初始条件，边界条件

初始条件: “完全描写初始时刻 t = 0 介质内部及边界上的任意一点的状况”

边界条件: 形式比较多样。总的原则是: “完全描写边界上各点在任一时刻的状况”

边界条件的分类（以u(x,t)为例）

  1. 第一类边界条件: 函数u在边界的值，例如: ,
  2. 第二类边界条件: 函数u的导数(法向微商(梯度))在边界的值，例如:
  3. 第三类边界条件: u和u的导数的叠加, 例如:

还有其它很多边界条件, 比如: 函数乃至它的导数在无穷远处有界…

齐次,非齐次

齐次就是等式右边为0; 非齐次就是不为0.

方程, 边界条件, 初始条件 都能按照齐次与非齐次进行分类.

线性偏微分方程的通解

  1. 线性算符L

线性偏微分方程:

齐次就是

分离变量法解方程

Case 1

方程是齐次的. 边界条件是齐次的. 初始条件是非齐次的.

Step 1 分离变量

设

原方程可以变为:

由于左右彼此无关, 因此这个式子只能等于一个既与x无关,又与t无关的常数. 另这个常数为

可以类似的处理齐次的边界条件: 原来的边界条件可以写为:

而初始条件是非齐次的, 不能进行这样的变换.

Step 2 本征值问题

求解:

本征值:

本征函数:

别忘了讨论 的情况. 如果对应的本征函数非0, 则 也是合法的本征值.

Step 3 处理另一个变量, 得到「一般解」

  1. 把 的取值丢到 里, 得到含有两个未知量的解

则样可以得到一个满足「齐次方程, 齐次边界条件」的特解:

把所有叠加:

这个 称作「一般解」, 它描述了所有满足「齐次方程, 齐次边界条件」的解.

Step 4 处理非齐次条件

本征函数构成一组正交基(内积由乘积的积分定义)

求解函数在基下面的分量, 分别和基做内积就可以了. 这个案例中, 类似傅立叶变换.

Case 2.0

矩形区域的稳定问题:

方程齐次

x方向的边界条件齐次,y方向的边界条件非齐次

基本是类似的, 用x的方向给出本征值, 用y方向叠加出一般解, 用y方向的非齐次边界条件定叠加系数.

Case 2.1

在非齐次方程, 齐次边界条件的情况

Strat. 1: “边界条件保持齐次, 而将方程齐次化”

两端固定弦的受迫震动

本案例中, 「方程非齐次, 初始条件齐次, 边界条件齐次」

利用「非齐次的通解 = 对应的齐次的通解 + 非齐次的特解」思路, 讨论对应的齐次方程. 边界条件保持齐次, 同时将方程齐次化.

「找一个」特解使其满足:

再求出使其满足:

最终, 原方程的解就是

总而言之

例:

非齐次项只是的函数, 可以令求解.

例:

令, 求进而求出特解.

例:

非齐次方程, 方向齐次, 方向非齐次;

定一个满足非齐次方程, 方向齐次条件的特解;

再整理得出齐次通解满足的初始条件, 它的初始条件应该包含, 和

Strat. 2: “按相应齐次问题本征函数展开”

如果非齐次项比较复杂导致特解难求, 就需要考虑下面的方法.

如果还以受迫振动为例:

解出一组满足 的本征函数 (参考Case 1)

, 都可以在这组基下展开:

把展开式带到方程中. 利用满足的微分方程, 将和 变为 (会在方程中引入本征值). 利用展开式的对应分量相等, 可以写出要满足的方程(等号右侧会和有联系).

类似的, 把展开式带到初始条件中, 得到要满足的初始条件.

Strat. 3: “常数变易法”

Case 3.0

非齐次的稳定性问题

利用Case2.1 的 Strat2 可以解决. 就这一题而言(两侧边界条件都齐次), 可以求本征函数 也可以求本征函数 . 都可以做, 只不过展开系数的复杂程度可能不同.

甚至在这种情况, 还可以使用所谓 “二重级数展开”.

可以由确定, 带入方程可以解:

Case 3.1

非齐次边界条件的齐次化

找一个特解, 使得特解满足这个非齐次边界条件: (只用满足边界条件, 甚至不用满足方程!)

取定了 之后, 为了让, 要满足: 「此时方程不再齐次, 初始条件也不再齐次(二者都会和 有关), 而边界条件被齐次化了」 .

有相当大的选择余地.

而面对 满足的 非齐次方程, 非齐次初始条件, 齐次边界条件, 化归到了Case2.

正交曲面坐标系

二维直角坐标系

平面极坐标系的算符?

可以据此解出:

根据复合函数求导

那么

整理有:

平面极坐标系

类似的:

柱坐标系

球坐标系注意是和轴的夹角是在平面上的倾角

圆形区域中Laplace方程的解法

转换成极坐标？

这两条足够吗？不够！新函数在是没有良定义的，但原问题是有的。

补充 处的周期条件：

补充 处的有界条件

有界

有界

分离变量，方程变为：

先从 下手。记得讨论 是不是合适的本征值！

一个本征值，对应多个本征函数的情况：总可以“正交化”

另一个方程 的处理方法：换元 即.

球坐标Helmholtz方程的分离变量

在球坐标下分离变量，得到这三个方程：

特殊情形： 与 无关。得到的方程会是：

柱坐标Helmholtz方程的分离变量

球函数

Legendre方程的解

对，做变量替换，，得到Legendre方程：

为了方便，令。

利用学过的级数法解方程的方法求解。

由 有界， 有界，得到 有界。种种迹象表明， 满足边界条件的本征值问题的解只能是：

本征值，本征函数

因此， 满足边界条件的本征值问题的解是：

本征值，本征函数

Legendre多项式：

Legendre多项式的性质

正交归一性

misc

  • 微分表示：

  • 奇偶性以及在 处的值：

  • 和多项式乘积的积分：

当且为整数

  • 生成函数，该函数以 为自变量在 展开，得到的系数是 ：

  • 递推关系：

连带Legendre函数，球面调和函数…

柱函数

从，令 ，，并把本征值表示为 ，有：

数学物理方法-下
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作者
justaLoli
发布于
2023-11-21 15:28
许可
  1. 数学物理方程
    1. 方程
    2. 定解条件
      1. 初始条件: “完全描写初始时刻 t = 0 介质内部及边界上的任意一点的状况”
      2. 边界条件: 形式比较多样。总的原则是: “完全描写边界上各点在任一时刻的状况”
    3. 齐次,非齐次
  2. 线性偏微分方程的通解
  3. 分离变量法解方程
    1. Case 1
      1. Step 1 分离变量
      2. Step 2 本征值问题
      3. Step 3 处理另一个变量, 得到「一般解」
      4. Step 4 处理非齐次条件
    2. Case 2.0
    3. Case 2.1
      1. Strat. 1: “边界条件保持齐次, 而将方程齐次化”
        1. 例:
        2. 例:
        3. 例:
      2. Strat. 2: “按相应齐次问题本征函数展开”
      3. Strat. 3: “常数变易法”
    4. Case 3.0
    5. Case 3.1
  4. 正交曲面坐标系
    1. 圆形区域中Laplace方程的解法
    2. 球坐标Helmholtz方程的分离变量
    3. 柱坐标Helmholtz方程的分离变量
  5. 球函数
  6. Legendre方程的解
    1. Legendre多项式的性质
      1. 正交归一性
      2. misc
    2. 连带Legendre函数，球面调和函数…
  7. 柱函数
  1. 数学物理方程
    1. 方程
    2. 定解条件
      1. 初始条件: “完全描写初始时刻 t = 0 介质内部及边界上的任意一点的状况”
      2. 边界条件: 形式比较多样。总的原则是: “完全描写边界上各点在任一时刻的状况”
    3. 齐次,非齐次
  2. 线性偏微分方程的通解
  3. 分离变量法解方程
    1. Case 1
      1. Step 1 分离变量
      2. Step 2 本征值问题
      3. Step 3 处理另一个变量, 得到「一般解」
      4. Step 4 处理非齐次条件
    2. Case 2.0
    3. Case 2.1
      1. Strat. 1: “边界条件保持齐次, 而将方程齐次化”
        1. 例:
        2. 例:
        3. 例:
      2. Strat. 2: “按相应齐次问题本征函数展开”
      3. Strat. 3: “常数变易法”
    4. Case 3.0
    5. Case 3.1
  4. 正交曲面坐标系
    1. 圆形区域中Laplace方程的解法
    2. 球坐标Helmholtz方程的分离变量
    3. 柱坐标Helmholtz方程的分离变量
  5. 球函数
  6. Legendre方程的解
    1. Legendre多项式的性质
      1. 正交归一性
      2. misc
    2. 连带Legendre函数，球面调和函数…
  7. 柱函数