数学物理方程
方程
波动方程
热传导方程
稳定问题
定解条件
分为两种: 初始条件,边界条件
初始条件: “完全描写初始时刻 t = 0 介质内部及边界上的任意一点的状况”
边界条件: 形式比较多样。总的原则是: “完全描写边界上各点在任一时刻的状况”
边界条件的分类(以u(x,t)为例)
- 第一类边界条件: 函数u在边界的值,例如:
, - 第二类边界条件: 函数u的导数(法向微商(梯度
))在边界的值,例如: - 第三类边界条件: u和u的导数的叠加, 例如:
还有其它很多边界条件, 比如: 函数乃至它的导数在无穷远处有界…
齐次,非齐次
齐次就是等式右边为0; 非齐次就是不为0.
方程, 边界条件, 初始条件 都能按照齐次与非齐次进行分类.
线性偏微分方程的通解
- 线性算符L
线性偏微分方程:
齐次就是
分离变量法解方程
Case 1
方程是齐次的. 边界条件是齐次的. 初始条件是非齐次的.
Step 1 分离变量
设
原方程可以变为:
由于左右彼此无关, 因此这个式子只能等于一个既与x无关,又与t无关的常数.
另这个常数为
可以类似的处理齐次的边界条件: 原来的边界条件可以写为:
而初始条件是非齐次的, 不能进行这样的变换.
Step 2 本征值问题
求解:
本征值:
本征函数:
别忘了讨论
的情况. 如果对应的本征函数非0, 则 也是合法的本征值.
Step 3 处理另一个变量, 得到「一般解」
- 把
的取值丢到 里, 得到含有两个未知量的解
则样可以得到一个满足「齐次方程, 齐次边界条件」的特解:
把所有
这个
Step 4 处理非齐次条件
本征函数构成一组正交基(内积由乘积的积分定义)
求解函数在基下面的分量, 分别和基做内积就可以了. 这个案例中, 类似傅立叶变换.
Case 2.0
矩形区域的稳定问题:
x方向的边界条件齐次,y方向的边界条件非齐次
基本是类似的, 用x的方向给出本征值, 用y方向叠加出一般解, 用y方向的非齐次边界条件定叠加系数.
Case 2.1
在非齐次方程, 齐次边界条件的情况
Strat. 1: “边界条件保持齐次, 而将方程齐次化”
两端固定弦的受迫震动
本案例中, 「方程非齐次, 初始条件齐次, 边界条件齐次」
利用「非齐次的通解 = 对应的齐次的通解 + 非齐次的特解」思路, 讨论对应的齐次方程. 边界条件保持齐次, 同时将方程齐次化.
「找一个」特解
再求出
最终, 原方程的解就是
总而言之
例:
非齐次项只是
例:
令
例:
非齐次方程,
定一个满足非齐次方程,
再整理得出齐次通解满足的初始条件, 它的初始条件应该包含
Strat. 2: “按相应齐次问题本征函数展开”
如果非齐次项
如果还以受迫振动为例:
解出一组满足
把展开式带到方程中. 利用
类似的, 把展开式带到初始条件中, 得到
Strat. 3: “常数变易法”
Case 3.0
非齐次的稳定性问题
利用Case2.1 的 Strat2 可以解决. 就这一题而言(两侧边界条件都齐次),
可以求本征函数
甚至在这种情况, 还可以使用所谓 “二重级数展开”.
Case 3.1
非齐次边界条件的齐次化
找一个特解
取定了
而面对
正交曲面坐标系
二维直角坐标系
平面极坐标系的
可以据此解出:
根据复合函数求导
那么
整理有:
类似的:
圆形区域中Laplace方程的解法
转换成极坐标?
这两条足够吗?不够!新函数在
补充
补充
分离变量,方程变为:
先从
一个本征值,对应多个本征函数的情况:总可以“正交化”
另一个方程
球坐标Helmholtz方程的分离变量
在球坐标下分离变量,得到这三个方程:
特殊情形:
柱坐标Helmholtz方程的分离变量
球函数
Legendre方程的解
为了方便,令
利用学过的级数法解方程的方法求解。
由
Legendre多项式:
Legendre多项式的性质
正交归一性
misc
- 微分表示:
- 奇偶性以及在
处的值:
- 和多项式乘积的积分:
- 生成函数,该函数以
为自变量在 展开,得到的系数是 :
- 递推关系: