数学物理方法-下
justaLoli

数学物理方程

方程

  1. 波动方程

  2. 热传导方程

  3. 稳定问题

定解条件

分为两种: 初始条件,边界条件

初始条件: “完全描写初始时刻 t = 0 介质内部及边界上的任意一点的状况”

边界条件: 形式比较多样。总的原则是: “完全描写边界上各点在任一时刻的状况”

边界条件的分类(以u(x,t)为例)

  1. 第一类边界条件: 函数u在边界的值,例如: ,
  2. 第二类边界条件: 函数u的导数(法向微商(梯度))在边界的值,例如:
  3. 第三类边界条件: u和u的导数的叠加, 例如:

还有其它很多边界条件, 比如: 函数乃至它的导数在无穷远处有界…

齐次,非齐次

齐次就是等式右边为0; 非齐次就是不为0.

方程, 边界条件, 初始条件 都能按照齐次与非齐次进行分类.

线性偏微分方程的通解

  1. 线性算符L

线性偏微分方程:

齐次就是

分离变量法解方程

Case 1

方程是齐次的. 边界条件是齐次的. 初始条件是非齐次的.

Step 1 分离变量

原方程可以变为:

由于左右彼此无关, 因此这个式子只能等于一个既与x无关,又与t无关的常数. 另这个常数为

可以类似的处理齐次的边界条件: 原来的边界条件可以写为:

而初始条件是非齐次的, 不能进行这样的变换.

Step 2 本征值问题

求解:

本征值:

本征函数:

别忘了讨论 的情况. 如果对应的本征函数非0, 则 也是合法的本征值.

Step 3 处理另一个变量, 得到「一般解」

  1. 的取值丢到 里, 得到含有两个未知量的解

则样可以得到一个满足「齐次方程, 齐次边界条件」的特解:

把所有叠加:

这个 称作「一般解」, 它描述了所有满足「齐次方程, 齐次边界条件」的解.

Step 4 处理非齐次条件

本征函数构成一组正交基(内积由乘积的积分定义)

求解函数在基下面的分量, 分别和基做内积就可以了. 这个案例中, 类似傅立叶变换.

Case 2.0

矩形区域的稳定问题:

方程齐次

x方向的边界条件齐次,y方向的边界条件非齐次

基本是类似的, 用x的方向给出本征值, 用y方向叠加出一般解, 用y方向的非齐次边界条件定叠加系数.

Case 2.1

在非齐次方程, 齐次边界条件的情况

Strat. 1: “边界条件保持齐次, 而将方程齐次化”

两端固定弦的受迫震动

本案例中, 「方程非齐次, 初始条件齐次, 边界条件齐次」

利用「非齐次的通解 = 对应的齐次的通解 + 非齐次的特解」思路, 讨论对应的齐次方程. 边界条件保持齐次, 同时将方程齐次化.

「找一个」特解使其满足:

再求出使其满足:

最终, 原方程的解就是

总而言之

例:

非齐次项只是的函数, 可以令求解.

例:

, 求进而求出特解.

例:

非齐次方程, 方向齐次, 方向非齐次;

定一个满足非齐次方程, 方向齐次条件的特解;

再整理得出齐次通解满足的初始条件, 它的初始条件应该包含,

Strat. 2: “按相应齐次问题本征函数展开”

如果非齐次项比较复杂导致特解难求, 就需要考虑下面的方法.

如果还以受迫振动为例:

解出一组满足 的本征函数 (参考Case 1)

, 都可以在这组基下展开:

把展开式带到方程中. 利用满足的微分方程, 将 变为 (会在方程中引入本征值). 利用展开式的对应分量相等, 可以写出要满足的方程(等号右侧会和有联系).

类似的, 把展开式带到初始条件中, 得到要满足的初始条件.

Strat. 3: “常数变易法”

Case 3.0

非齐次的稳定性问题

利用Case2.1 的 Strat2 可以解决. 就这一题而言(两侧边界条件都齐次), 可以求本征函数 也可以求本征函数 . 都可以做, 只不过展开系数的复杂程度可能不同.

甚至在这种情况, 还可以使用所谓 “二重级数展开”.

可以由确定, 带入方程可以解:

Case 3.1

非齐次边界条件的齐次化

找一个特解, 使得特解满足这个非齐次边界条件: (只用满足边界条件, 甚至不用满足方程!)

取定了 之后, 为了让, 要满足: 「此时方程不再齐次, 初始条件也不再齐次(二者都会和 有关), 而边界条件被齐次化了」 .

有相当大的选择余地.

而面对 满足的 非齐次方程, 非齐次初始条件, 齐次边界条件, 化归到了Case2.

正交曲面坐标系

二维直角坐标系

平面极坐标系的算符?

可以据此解出:

根据复合函数求导

那么

整理有:

类似的:

圆形区域中Laplace方程的解法

转换成极坐标?

这两条足够吗?不够!新函数在是没有良定义的,但原问题是有的。

补充 处的周期条件

补充 处的有界条件

分离变量,方程变为:

先从 下手。记得讨论 是不是合适的本征值!

一个本征值,对应多个本征函数的情况:总可以“正交化”

另一个方程 的处理方法:换元.

球坐标Helmholtz方程的分离变量

在球坐标下分离变量,得到这三个方程:

特殊情形: 无关。得到的方程会是:

柱坐标Helmholtz方程的分离变量

球函数

Legendre方程的解

,做变量替换,得到Legendre方程:

为了方便,令

利用学过的级数法解方程的方法求解。

有界, 有界,得到 有界。种种迹象表明, 满足边界条件的本征值问题的解只能是:

因此, 满足边界条件的本征值问题的解是:

Legendre多项式:

Legendre多项式的性质

正交归一性

misc

  • 微分表示:

  • 奇偶性以及在 处的值:

  • 和多项式乘积的积分:

  • 生成函数,该函数以 为自变量在 展开,得到的系数是

  • 递推关系:

连带Legendre函数,球面调和函数…

柱函数

,令,并把本征值表示为 ,有: